WPS7494


Policy Research Working Paper                 7494




    Weak Instruments in Growth Regressions
       Implications for Recent Cross-Country Evidence
                  on Inequality and Growth

                                 Aart Kraay




Development Research Group
Macroeconomics and Growth Team
November 2015
Policy Research Working Paper 7494


  Abstract
 This paper revisits four recent cross-country empirical stud-                      conclusions about the effect of inequality on growth—in
 ies on the effects of inequality on growth. All four studies                       either direction—cannot be drawn from these studies. This
 report strongly significant negative effects, using the popu-                      paper also systematically explores a wide range of alternative
 lar system generalized method of moments estimator that                            sets of internal instruments, and finds that problems of weak
 is frequently used in cross-country growth empirics. This                          instruments are pervasive across these alternatives. More gen-
 paper shows that the internal instruments relied on by this                        erally, the paper illustrates the importance of documenting
 estimator in these inequality-and-growth regressions are                           instrument strength, basing inferences on procedures that
 weak, and that weak instrument-consistent confidence sets                          are robust to weak instruments, and considering alternative
 for the effect of inequality on growth include a wide range                        instrument sets when using the system generalized method
 of positive and negative values. This suggests that strong                         of moments estimator for cross-country growth empirics.




  This paper is a product of the Macroeconomics and Growth Team, Development Research Group. It is part of a larger
  effort by the World Bank to provide open access to its research and make a contribution to development policy discussions
  around the world. Policy Research Working Papers are also posted on the Web at http://econ.worldbank.org. The author
  may be contacted at akraay@worldbank.org.




         The Policy Research Working Paper Series disseminates the findings of work in progress to encourage the exchange of ideas about development
         issues. An objective of the series is to get the findings out quickly, even if the presentations are less than fully polished. The papers carry the
         names of the authors and should be cited accordingly. The findings, interpretations, and conclusions expressed in this paper are entirely those
         of the authors. They do not necessarily represent the views of the International Bank for Reconstruction and Development/World Bank and
         its affiliated organizations, or those of the Executive Directors of the World Bank or the governments they represent.


                                                       Produced by the Research Support Team
      

                                                          

                                                          

                                                          

                           Weak Instruments in Growth Regressions:   
         Implications for Recent Cross‐Country Evidence on Inequality and Growth 
 
                                                Aart Kraay  
                                  World Bank Development Research Group 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Keywords:  Inequality, growth, weak instruments 
 
JEL Codes:  O4, D30, C36 
 
______________________ 
1818 H Street NW, Washington, DC 20433, akraay@worldbank.org.  I am grateful to the authors of the papers 
reviewed here for sharing their data and Stata codes and for answering numerous questions, and to Sam Bazzi, 
Frank Kleibergen, Peter Lanjouw, Christoph Lakner, David Roodman, Mark Schaffer, and Frank Windmeijer for 
helpful discussions.  I am also grateful to David Roodman and Mark Schaffer for the features they have added to 
their Stata xtabond2 and weakiv commands which greatly facilitate the implementation of weak instrument 
diagnostics and weak instrument‐robust inference for dynamic panel estimators.   
1.  Introduction 

              The past few years have seen a resurgence of interest among academics and policy makers in 
the causes of inequality and its consequences for economic development.  A central question in the 
debates around inequality concerns the effects of inequality on economic growth, with a growing 
consensus that inequality is detrimental to growth.  In this paper, I revisit four recent studies that have 
contributed to this consensus with evidence of a negative and statistically significant relationship 
between inequality and subsequent growth:  Castelló‐Climent (2010); Halter, Oechslin and Zweimüller 
(2014); Ostry, Berg and Tsangarides (2014); and Dabla‐Norris, Kochhar, Suphaphiphat, Ricka, and 
Tsounta (2015).  The first two are published papers appearing in peer‐reviewed journals in the fields of 
inequality and growth, respectively.  The second two are IMF Staff Discussion Notes and as such have 
been widely discussed in policy circles and in the media.   

              Credibly estimating the effects of inequality (or any other variable) on growth is difficult.  The 
fundamental empirical challenge is that any observed correlation between inequality and growth could 
reflect a causal effect running from inequality to growth, or it could reflect causation running in the 
opposite direction from growth to inequality, or it could simply reflect the influence of some third factor 
driving both inequality and growth.  Since the policy implications of these three channels are very 
different, the recent empirical literature has devoted a great deal of effort to disentangling them.  These 
identification challenges are not unique to the inequality‐and‐growth literature, and are widely 
recognized throughout the empirical literature on determinants of economic growth across countries. 

       Many papers in the empirical growth literature, including the four inequality‐and‐growth studies 
reviewed here, have relied on the system generalized method of moments (SYS‐GMM) estimator as an 
econometric tool to address these identification challenges.1  This estimator is essentially a system of 
two linear instrumental variables regressions, one relating growth rates to levels of explanatory 
variables, and one relating changes in growth rates to changes in explanatory variables.  In order to 
isolate causal effects, this estimator relies on a large set of lagged levels and differences of right‐hand‐
side variables as internal instrumental variables.2   



                                                            
1
   This estimator was developed in a series of papers including Holtz‐Eakin, Newey and Rosen (1988), Arellano and 
Bond (1991), Arellano and Bover (1995) and Blundell and Bond (1998), and was first applied in the cross‐country 
growth literature by Caselli, Esquivel and Lefort (1996).   
2
   The use of external instruments for inequality (as opposed to lags of inequality as internal instruments) is rare in 
the inequality and growth literature.  A notable exception is Easterly (2007) who uses agricultural endowments 

                                                               2 
 
              As in all instrumental variables regressions, the validity of statistical inferences about the 
parameters of interest ‐‐ in this case, the effect of inequality on growth ‐‐ depends crucially on the 
strength of the relationship between the instruments and the endogenous explanatory variables.  In 
particular, when instruments are weakly correlated with the endogenous explanatory variables, it is well 
known that instrumental variable estimators can be seriously biased and have distributions in finite 
samples that are very different from their conventional asymptotic normal approximations.3  This in turn 
means that the interpretation of point estimates and conclusions about their significance based on 
conventional t‐statistics can be misleading when instruments are weak. 

              To address this problem, a large econometrics literature on weak instruments has developed 
tests to diagnose instrument strength, together with new methodologies that produce valid inferences 
even when instruments are weak.  While the application of these tools is rapidly becoming standard 
practice in empirical papers that rely on single‐equation instrumental variable regressions with external 
instruments, it remains rare in the very popular applications of the SYS‐GMM estimator to cross‐country 
growth regressions.    A likely reason for this gap is the absence of “off‐the‐shelf” tools for assessing 
instrument strength and constructing weak instrument‐consistent confidence sets in the context of the 
SYS‐GMM estimator. Fortunately, the authors of the popular xtabond2 and weakiv routines in Stata 
have recently added options that make it very easy to perform instrument strength diagnostics and 
generate weak instrument‐consistent confidence sets in the context of SYS‐GMM estimation. 4   

              In this paper, I follow the approach of Bazzi and Clemens (2013) in applying weak instrument 
diagnostics to inequality and growth regressions.5  Bazzi and Clemens (2013) unbundle the SYS‐GMM 
estimator into its constituent “differenced” and “levels” equations and report weak instrument 
diagnostics and weak instrument‐consistent inferences for these two equations separately, in a set of 
well‐known empirical growth studies.   Applying these tools to the benchmark specifications from the 
recent contributions to the inequality and growth literature considered here, I find pervasive evidence 

                                                            
(the relative share of land suited for wheat and sugarcane) as an instrument for inequality and documents a 
negative cross‐sectional relationship between inequality and levels of development.   
3
   An early reference to this observation is Nelson and Startz (1990).  Since then a large literature on weak 
instrument‐robust inference has developed.  See Murray (2006) for a non‐technical survey, and Mikusheva (2013) 
for a somewhat more technical but still accessible overview. 
4
   See Roodman (2009) and Finlay, Magnusson and Schaffer (2013) for original documentation of these Stata 
commands, and the accompanying Stata help files for the descriptions of the most recent features. The replication 
code for this paper illustrates the convenience of the additional features in these Stata modules.  
5
   See also Dollar and Kraay (2003) which reports weak instrument diagnostics and weak instrument‐consistent 
confidence sets for differenced‐GMM estimation of regressions of growth on trade and institutions. 

                                                               3 
 
of weak internal instruments in the SYS‐GMM estimator used in these papers.  Using weak instrument‐
robust approaches to inference, I find that the data used in these papers are consistent with a wide 
range of both positive and negative values for the causal effect of inequality on growth.  This indicates 
that, once the poor performance of the internal instruments used in the SYS‐GMM estimates of the 
benchmark specifications in these papers is properly accounted for, it no longer is possible to draw 
strong conclusions about either a negative or a positive effect of inequality on growth.   

        These findings in the benchmark specifications of these studies of course do not rule out the 
possibility that there may be other empirical specifications in which internal instruments are strong, or 
even if they are weak, that weak instrument‐consistent confidence sets are small enough to be able to 
draw interesting conclusions about the growth effects of inequality.  Rather, these findings illustrate the 
importance of systematically documenting instrument strength in all applications of the SYS‐GMM 
estimator and relying on weak instrument robust approaches to inference where appropriate.   

        One key feature of the SYS‐GMM estimator is that the underlying identifying assumptions imply 
that a large number of lagged levels and differences of explanatory variables are available as 
instruments.  This in turn implies that users of SYS‐GMM have a great deal of latitude to construct the 
instrument set from the multitudinous different possible combinations of these instruments, all of which 
are equally valid in terms of satisfying the relevant exclusion restrictions.  This in turn raises the question 
of whether my conclusions about weak instruments hold not just for the instrument sets used in the 
benchmark specifications in these papers, but also across the many possible other instrument sets that 
could have been used instead.  I take up this question in Section 4 of the paper, using the data set from 
Ostry, Berg, and Tsangarides (2014) as an illustration.  Using this data set and a minimalist inequality‐
and‐growth specification, I systematically document instrument strength across a large number of 
alternative combinations of internal instruments.  I find that weak instrument problems appear to be 
pervasive across these alternative instrument sets, and that virtually none of them support strong 
conclusions about a significant effect of inequality on growth, either positive or negative.  This stands in 
stark contrast with the SYS‐GMM point estimates and t‐statistics, which suggest a very consistent 
pattern of conventional significance across all instrument sets. 

        The weak instrument problems that I document in this paper arise in a specific set of influential 
recent contributions to the inequality and growth literature.  Moving beyond this particular application, 
my findings underscore the conclusions of Bazzi and Clemens (2013) on the importance of verifying 
instrument strength, and if necessary also relying on techniques that are valid when instruments are 

                                                       4 
 
weak, in all applications of the SYS‐GMM estimator to cross‐country growth empirics.  Beyond this, my 
analysis in the last section of the paper also emphasizes the importance of systematically verifying that 
conclusions are robust over a reasonably large set of alternative possible instrument sets.  Paying more 
careful attention to issues of internal instrument strength will help to improve the credibility of 
empirical evidence based on the SYS‐GMM estimator, not only in the inequality and growth literature, 
but in a much broader range of applications as well. 

              The rest of this paper proceeds as follows.  In the next section, I summarize the findings of the 
four empirical studies reviewed in this paper.  I also briefly review the SYS‐GMM estimator and the use 
of weak instrument diagnostics and weak instrument robust approaches to inference in this setting.  
Section 3 contains my main empirical results, which show that weak instrument‐consistent confidence 
sets for the estimated effect of inequality on growth in the benchmark specifications of these papers are 
very large and include a wide range of positive and negative values.  In Section 4, I investigate how the 
performance of the internal instruments in the SYS‐GMM estimator and the size of weak instrument‐
consistent confidence sets for the estimated effects of inequality on growth depend on some of the 
many possible choices for constructing the instrument set in the SYS‐GMM estimator.  Section 5 offers 
concluding remarks. 

2.  Background 

2.1 Four Recent Inequality and Growth Studies 

       In this section I briefly summarize the main findings of the four studies considered here.6  All four 
studies use the SYS‐GMM estimator to identify the effects of inequality on growth, using cross‐country 
panel data sets in which each observation is a five‐year period for a given country.  However, the studies 
differ in the specific hypotheses being tested, in their choice of inequality measures, and in their choice 
of control variables.   


                                                            
6
  Three other prominent earlier papers in this literature are similar to the ones considered here, in the sense that 
they also use lags of variables as internal instruments.  Barro (2005) uses lags of inequality as instruments in a 3SLS 
regression but does not implement either the differenced or the levels equation that make up the SYS‐GMM 
estimator.  Forbes (2000) uses the differenced GMM estimator, and as such is likely to suffer from concerns about 
instrument strength similar to those documented here in more recent papers.  Parenthetically, this paper is 
notable for being the only one among those discussed here to find a positive effect of inequality on growth.  
Interestingly, in all of the papers I replicate below, the differenced equation yields a positive (although not often 
significant) correlation between inequality and growth, consistent with difference‐GMM estimates of Forbes 
(2000).  Finally, Voitchovsky (2005) implements the full SYS‐GMM estimator, and Bazzi and Clemens (2013) 
demonstrate that the internal instruments are weak in this paper, so I do not repeat this analysis here. 

                                                               5 
 
       Ostry, Berg and Tsangarides (2014) (hereafter, OBT) emphasize the distinction between “gross” and 
“net” inequality (i.e. inequality before and after the redistributive effects of taxes and transfers are 
taken into account).  They regress growth on initial income, a proxy for the net Gini, and a proxy for 
redistribution based on the difference between the net and the gross Gini.  They rely on a data set 
described in Solt (2009) which extensively imputes the limited available cross‐country data on net and 
gross income inequality to arrive at a very large and dense cross‐country panel of annual observations 
on the net and gross Gini.7  OBT find that higher net inequality is significantly associated with lower 
subsequent growth, while redistribution is not significantly correlated with growth.  They conclude from 
this that redistributive policies that reduce the net Gini coefficient can increase growth. 

       Halter, Oechslin and Zweimüller (2014) (hereafter, HOZ) focus on the dynamic relationship between 
inequality and growth.  They develop a theoretical model in which higher inequality is associated with 
faster growth in the short term, reflecting a more efficient allocation of assets across individuals.  
However, in the long term, an adverse political economy channel takes over, in which greater inequality 
leads to underprovision of public goods that subsequently reduces growth.  To bring this theory to the 
data, they estimate a regression of growth on lagged inequality and twice‐lagged inequality, taking their 
inequality data from the widely‐used UNU‐WIDER World Income Inequality Database.  Consistent with 
their theory, they find that the coefficient on lagged inequality is positive (and sometimes significantly 
so), while the coefficient on twice lagged inequality is significantly negative.  They also find that the sum 
of these two coefficients is negative, suggesting a negative impact of a permanent increase in inequality 
on long‐run growth. 

       Dabla‐Norris, Kochhar, Suphaphihpat, Ricka, and Tsounta (2015) (hereafter, DKSRT) provide a 
theoretical and empirical review of the causes and consequences of inequality, focusing on cross‐
country data.  In the first part of their paper, they report new empirical evidence on the effects of 
inequality on subsequent growth.  They first document a statistically‐significant negative relationship 
between the net Gini and subsequent growth using an empirical specification and dataset that is very 
similar to OBT.  They then use a smaller sample of countries for which income shares by quintile of the 
population are available in the UNU‐WIDER World Income Inequality Database, and estimate a series of 
                                                            
7
  Since my focus in this paper is solely on the role of instrument strength, I do not delve into the various concerns 
about this dataset ‐‐ for details see Jenkins (2014).  Briefly, the fundamental challenge with this imputed dataset is 
that actual data on pre‐ and post‐tax inequality is very scarce outside OECD economies, and so for the developing 
economies that make up the majority of observations in OBT’s data, the Solt (2009) data contains very little 
unimputed information about the extent to which developing countries redistribute through their tax and transfer 
systems. 

                                                               6 
 
regressions of growth on each of the five individual quintile shares, including them one at a time in their 
growth regressions.  They find that higher bottom quintile shares are positively correlated with 
subsequent growth, while higher upper quintile shares are negatively correlated with subsequent 
growth.  This latter finding is not very surprising given that top (bottom) quintile shares can be thought 
of as alternative summary measures of inequality that are almost perfectly positively (negatively) 
correlated with the Gini coefficient in their data. 

       Finally, Castelló‐Climent (2010) (hereafter, CC) also documents the effects of inequality on growth in 
a large panel of countries.  This paper considers inequality in the distribution of human capital, in 
addition to the income or consumption inequality measures that are studied in the other three papers 
reviewed here.  Human capital inequality is constructed using the methodology proposed in Castelló and 
Domenech (2002), which relies on the Barro‐Lee cross‐country data on years of schooling by age groups 
of the population, and then calculates inequality in education across age groups as the measure of 
human capital inequality.  Although this measure captures only human capital inequality across (and not 
within) age groups, an advantage of this measure is that it has much greater country and time coverage 
than measures of income and consumption inequality from the UNU‐Wider World Income Inequality 
Database. Since the strongest results in this paper are for the human capital inequality measure, I focus 
on these here.  CC finds a strongly significant negative relationship between human capital inequality 
and subsequent growth in a large panel of countries observed over five‐year periods. 

2.2  Estimating Growth Regressions Using the SYS‐GMM Estimator 

       All of the studies discussed above estimate variants on the following standard cross‐country growth 
regression: 



    (1)                                      	           ′      	                 


where        is log real GDP per capita,      is a vector of explanatory variables, and the composite error 
term                  includes country and period effects as well as an idiosyncratic component.  Note that 
subtracting lagged per capita income,            , from both sides of Equation (1) results in a regression of 
real per capita GDP growth on initial income and a set of control variables.  In all four studies, the length 
of the time interval is five years.  As noted above, the studies reviewed here differ in their choice of 
explanatory variables and sources of inequality data, but otherwise adhere to this basic setup.  For 



                                                         7 
 
convenience, Table 1 summarizes the choice of explanatory variables included in the baseline 
specification of each study.  

             All four studies estimate this equation using the SYS‐GMM estimator for dynamic panels with a 
short time dimension, developed by Holtz‐Eakin, Newey and Rosen (1988), Arellano and Bond (1991), 
Arellano and Bover (1995), and Blundell and Bond (1998) (see also Roodman (2009) for an extensive 
discussion of this estimator and its implementation in Stata).  Following the seminal application to cross‐
country growth empirics by Caselli, Esquivel and Lefort (1996), this methodology has been widely used 
in the empirical literature on the determinants of growth across countries.  The estimator optimally 
combines inferences from GMM estimation of Equation (1) in levels and in differences, using 
appropriate lagged levels and differences of right‐hand‐side variables as internal instruments.  
Specifically, the SYS‐GMM procedure estimates the “levels” Equation (1) jointly with a first‐differenced 
version of Equation (1): 



    (2)                               ∆        	∆          ′	∆        ∆        ∆    


where ∆ is the first‐difference operator, i.e. ∆                     for any variable  .  The rationale for 
differencing Equation (1) is that it eliminates the unobserved country‐specific effect,  , from the 
differenced equation  This addresses the problem that   is by construction correlated with lagged 
income on the right‐hand‐side, and moreover   might also be correlated with the other explanatory 
variables of interest.  However, differencing introduces a new challenge, which is that the differenced 
error term, ∆        , now is mechanically correlated with lagged growth, ∆        , since the latter includes 
            which from Equation (1) is depends on      , which in turn is included in the differenced error 
term.  This problem is addressed with an appropriate choice of internal instruments, as discussed next. 

             SYS‐GMM estimation of Equations (1) and (2) commonly relies on the following standard 
identifying assumptions.  The first assumption is that the idiosyncratic component of the error term,             , 
is uncorrelated over time.  From Equation (1),         depends on current and lagged values of the error 
term, but not future values, so this implies that             ∆      0 for s   2, i.e. second and higher lags of 
log income per capita are valid instruments in the differenced equation.  The second assumption is that 
                      0 for     0, i.e. the explanatory variables are predetermined with respect to the shock 
to growth.  This implies that second and higher lags of the explanatory variables are valid instruments in 
the differenced equation.  The third assumption, required to identify the levels equation, is that lagged 


                                                         8 
 
changes in explanatory variables are orthogonal to both the time‐invariant and idiosyncratic component 
of the error term, i.e.     ∆                   0 for         1.  This implies that current and lagged 
differences of the right‐hand side variables in the levels equation are valid instruments in the levels 
equation.  Like all identifying assumptions, these three can be questioned on a variety of grounds.  
However, they are standard ones in the empirical literature that has used the SYS‐GMM estimator, and I 
take them as given in what follows.   

2.3  Weak Instruments 

          My focus in this paper is on the strength of the internal instruments implied by these identifying 
assumptions, i.e. do these instruments jointly have strong predictive power for the endogenous 
regressors?   The answer to this question has important implications for the reliability of inferences 
about the estimated effects of inequality and redistribution on growth.  Specifically, the literature on 
weak instruments has demonstrated that inferences based on conventional asymptotics applied to Wald 
statistics can be quite misleading when instruments are weak, and has proposed a variety of other 
approaches to inference that are robust to weak instruments.  These techniques typically produce 
confidence sets for parameters of interest by “inverting” test statistics that are functions of the 
parameters of interest and have known asymptotic distributions regardless of instrument strength.  In 
particular, confidence sets for parameters of interest can be derived from grid searches that identify 
regions of the parameter space where the test statistic is smaller than the appropriate critical value.  
These regions of the parameter space where the test statistic does not reject the null hypothesis at the 
     percent level form a  100       percent confidence set.  Since the validity of the asymptotic 
approximation does not depend on instrument strength for these tests, confidence sets constructed in 
this way are valid when instruments are strong and when they are weak. 

          Chernozhukov and Hansen (2008) provide a very intuitive interpretation of this approach.  
Consider an instrumental variables regression                      with a set of instruments  .  They observe 
that the Anderson and Rubin (1949) statistic, which can be used to construct weak instrument‐
consistent confidence sets, is equivalent to regressing               on the instruments   and testing their 
joint significance.  This is because under the joint null hypothesis that            and the instruments are 
exogenous, i.e.             0, the instruments should not be jointly significant in such a regression.  
Accordingly, a standard Wald test of the null hypothesis that the slope coefficients on the instruments 
are jointly zero is equivalent to a test of this joint null hypothesis.  Moreover, since – roughly speaking ‐‐ 
such a test does not depend on the strength of the relationship between   and  , it will be valid 

                                                         9 
 
regardless of instrument strength.  Performing this test repeatedly over a grid of hypothesized‐under‐
the‐null parameter values       traces out a confidence set for the parameters of interest that is 
asymptotically valid whether the instruments are strong or weak.  

        One drawback of confidence sets constructed in this way is that they are hard to visualize when 
there are more than two parameters of interest, as is the case in the papers considered here.  For 
example, OBT include three endogenous regressors in their benchmark specification:  lagged income, 
inequality, and redistribution.  This implies that the joint confidence set for the coefficients on these 
three variables is a three‐dimensional object that is difficult to represent graphically.  To circumvent this 
problem, I follow the standard approach of projecting higher‐dimensional confidence sets into lower 
dimensions.  For example, in the case of OBT, consider a pair of hypothesized values for the slope 
coefficients on inequality and redistribution, which are the inequality variables of primary interest here.  
As long as there is at least one hypothesized value for the coefficient on initial income somewhere in the 
third dimension of the grid under consideration for which a joint test of all three values does not reject, 
this pair would be included in the two‐dimensional joint confidence set for the coefficients on initial 
inequality and redistribution. Similarly, one can project into one‐dimensional confidence sets for the 
individual parameters.  For example, the one‐dimensional confidence set for the slope coefficient on 
initial inequality consists of all hypothesized values for this parameter for which there is some pair of 
values for the other two slope coefficients such that the joint test of all three does not reject.   

        A drawback of such projection‐based confidence sets is that they are conservative, in the sense 
that they include the true value of the parameter of interest more than 95 percent of the time if the 
joint test for each grid point in the parameter space is done at the 5 percent significance level.  To 
ensure that my findings are not driven by this excess conservatism, I consider two alternative 
approaches as robustness checks.  The first is to assume that the coefficient on initial income is strongly 
identified, following the methodology of Kleibergen (2004).  This generates a weak instrument‐
consistent confidence set for only the weakly‐identified parameters by evaluating the weak instrument‐
robust statistics over a smaller‐dimensional grid of values for the only the weakly‐identified parameters, 
at each point in the grid replacing the remaining strongly‐identified parameter with an efficient estimate 
of it.  An important caveat to this approach is that the assumption that the coefficient on initial income 
is strongly identified is unlikely to be literally true.  The second alternative is to simply impose a value for 
the coefficient on initial income.  Specifically, I assume that the coefficient on lagged income,  , is equal 
to its estimated value from the benchmark SYS‐GMM estimates,              , and then I regress   


                                                      10 
 
    	       on  ′        using the same lagged levels and differences of the explanatory variables as 
instruments as in the SYS‐GMM estimates.  I then construct weak instrument‐consistent confidence sets 
for the coefficients on the remaining inequality variables in the same way as before. 

        In the empirical results below, I report confidence sets based on three different statistics.  The 
first is the Anderson‐Rubin statistic, for which the intuition has already been discussed above.  The 
literature has, however, noted that a shortcoming of this test is that it can lose power as the number of 
instruments becomes large relative to the number of endogenous regressors.  This is particularly a 
concern in this application where the SYS‐GMM estimator generates a large number of internal 
instruments.  I therefore also present confidence sets constructed using two alternative techniques 
proposed to remedy this problem.  Kleibergen (2005) proposes an orthogonal decomposition of the 
Anderson‐Rubin statistic into (a) a K‐statistic due to Kleibergen (2002) that tests only the null hypothesis 
that the parameters are equal to their hypothesized values, conditional on the orthogonality conditions 
being true, and (b) a J‐statistic analogous to the standard test of the orthogonality conditions, but 
evaluated at the hypothesized parameter values.  Kleibergen (2005) demonstrates that the power of the 
Anderson‐Rubin test can be improved by separately testing these two null hypotheses at lower‐than‐5 
percent significance levels at each point in the parameter space, and then constructing a confidence set 
consisting of those grid points that are not rejected by both tests.  This yields 95 percent confidence sets 
with superior power properties to those based on the Anderson Rubin statistic alone.  I also report 
confidence sets based on a conditional likelihood ratio statistic developed by Moreira (2003) for the i.i.d. 
case, and generalized by Kleibergen (2005), which tests only the null hypothesis about the slope 
coefficients of interest, conditional on the assumption that the orthogonality conditions are true.  
Moreira (2003) shows that this test also has better power properties than the one based on the 
Anderson‐Rubin statistic when the number of instruments is large.  As noted in the introduction, all of 
these confidence sets can readily be calculated using the weakiv module available in Stata, as 
described in Finlay, Magnusson and Schaffer (2013). 

3. Empirical Results 

3.1  Instrument Strength in the Baseline Specifications of OBT, HOZ, and CC 




                                                     11 
 
              In this section, I document issues of instrument strength in three of the four papers described in 
Section 2.1.8  I first replicate the benchmark empirical specifications of OBT, HOZ and CC, in the first 
columns of Tables 2, 3 and 4, respectively.  OBT find a negative and significant estimate of the effect of 
net inequality on growth, and a small positive effect of redistribution on growth that is not significantly 
different from zero.  They also reject the null hypothesis that these two slopes sum to zero, suggesting 
that redistributive policies that reduce the net Gini have a positive and statistically significant effect on 
growth.  Their estimated negative growth effect of inequality is substantial.  A one‐standard deviation 
increase in the net Gini (i.e. a 0.1 point increase in the Gini on a scale from zero to one, corresponding 
roughly to the rise in inequality in China over the past 20 years) would lower cumulative growth over the 
following five years by 0.07 (i.e. 0.07/5=0.014, or 1.4 percent per year), corresponding to just over one‐
half a standard deviation of per capita GDP growth rates in the benchmark regression sample.9   

              In the case of HOZ, my replication is close to, but not exactly the same as the authors’ results.  I 
begin with the specification in Column 4 of Table 3 of their paper, which regresses log per capita GDP on 
its lag, as well as lagged and twice‐lagged inequality, and a set of additional control variables.  I make 
one correction and one change to this benchmark specification as estimated in the replication code 
provided by the authors.  The correction involves including some instruments in the instrument set that 
were missing in the authors’ original code.10  The change is that I drop the additional control variables 
                                                            
8
   DKSRT kindly provided me with replication datasets and codes for the SYS‐GMM inequality and growth 
regressions in their paper.  However, I do not include this paper in my replication for two reasons.  First, their 
specification and dataset are very similar to that of OBT, which I do replicate below, and so the same concerns 
about weak instruments are likely to apply in DKSRT as well.  Second, the replication codes provided by DKSRT 
implemented the SYS‐GMM estimator in a way that is inconsistent with the internal logic of this estimator.  
Specifically, the published regressions in DKSRT are implemented using the xtdpdsys command in Stata.  In the 
replication code they provided to me, they used the following syntax:  xtdpdsys gdpgrowth
log_gdp2005pc gini.  This formulation fails to recognize that the syntax of xtdpdsys treats variables listed 
immediately after the dependent variable as exogenous covariates, while predetermined regressors are listed 
subsequently using the pre()option.  This implies that lagged income (log_gdp2005pc) and inequality (gini) 
are treated as strictly exogenous in the way that DKSRT used xtdpdsys.  In the case of lagged income, this is 
inconsistent with the internal logic of the SYS‐GMM estimator.  In the case of inequality, this assumes away any 
potential endogeneity problems for inequality which motivated the use of the SYS‐GMM estimator in the first 
place.  This in turn implies that assessing internal instrument strength in their benchmark specification is not 
particularly meaningful, and so I do not pursue this further here.   
9
   Note that OBT have average annual growth over a five‐year period as the dependent variable in their 
specification.  This means that the coefficients on inequality and redistribution in Table 2 are 5 times as large as 
the coefficients reported in OBT, which is just an inconsequential rescaling. 
10
    HOZ implement the SYS‐GMM estimator using xtabond2.  The syntax of xtabond2 requires that all 
exogenous regressors be included in the variable list following xtabond2, and also in the ivstyle() 
instrument list since they serve as their own instruments (see Roodman (2009), page 124).  However, HOZ did not 
do this in their replication code for two sets of variables:  (i) the period dummies, which I include in the 
ivstyle() instrument list for both the levels and differenced equations as required by xtabond2 syntax, and 

                                                               12 
 
included in their benchmark specification, in order to focus more directly on the strength of the internal 
instruments for inequality.  My version of HOZ’s benchmark specification is reported in the first column 
of Table 3.  Consistent with their findings, lagged inequality is positively but insignificantly correlated 
with growth, while twice‐lagged inequality is negatively and strongly significantly correlated with 
growth.  The main difference with HOZ’s benchmark specification is that the estimated effect of twice‐
lagged inequality on growth is slightly more negative (‐0.67 in my version, as opposed to ‐0.55 in theirs).  
The estimated long‐run effect (the sum of the two coefficients) is negative and equal to ‐0.51.  The 
magnitude of this estimated adverse growth effect of higher inequality is again substantial:  a 0.1 point 
increase in the Gini would lower cumulative growth over the following five years by five percentage 
points, or about one percentage point per year. 

              The first column of Table 4 contains my replication of the benchmark specification in CC, which I 
take to be Column 1 in Table 1 of that paper.  CC regresses growth on lagged income, lagged human 
capital inequality, and a set of control variables.  Once again, I drop the control variables in order to 
focus directly on the strength of internal instruments for inequality.  This change has only small effects 
on the estimated magnitude of the negative growth effect of human capital, which remains substantial:  
a one‐standard deviation increase in human capital inequality of 0.24 Gini points in their sample lowers 
cumulative growth over the following five years by 5.7 percent, or about 1.1 percentage points per year.  
However, the significance of the estimated effect is lower than in CC’s reported results, falling just short 
of significance at the 10 percent level.     

              At the bottom of Tables 2, 3 and 4, I detail the internal instruments used in the SYS‐GMM 
estimator.  In the differenced equation, OBT use the second through fifth lags of log per capita GDP, 
together with second and third lags of inequality and redistribution, as instruments.  In the levels 
equation, OBT use the first and second lagged differences of inequality and redistribution as 
instruments.  In the case of HOZ, the instruments in the differenced equation consist of twice‐lagged 
levels of income, inequality, and the three control variables, while in the levels equation they use the 
lagged difference of income, inequality, and the control variables.  For CC, the instrument set consists of 



                                                            
(ii) ∆      in the differenced equation, which serves as its own instrument under HOZ’s maintained assumption 
that lagged inequality is predetermined, i.e.                  0,      0.  This correction substantially strengthens 
identification relative to HOZ’s benchmark specification, by introducing missing instruments that by construction 
are perfectly correlated with explanatory variables.  However, it has only minimal effects on the point estimates in 
the SYS‐GMM estimator. 

                                                               13 
 
the second‐ to fourth‐ lagged levels of right‐hand‐side variables in the differenced equations, and first‐
lagged differences in the levels equation.  

              In the second and third columns of Table 2, 3 and 4, I unbundle the SYS‐GMM estimator into the 
corresponding differenced and levels equations, and report 2SLS estimates of each, using the same 
internal instruments for each equation as those used in the SYS‐GMM estimator.  In all three papers, the 
within‐country variation exploited by the differenced equation suggests a positive relationship between 
inequality and growth, although this effect is statistically significant only in HOZ.  On the other hand, the 
findings from the SYS‐GMM estimator of a negative effect of inequality and growth appear to be driven 
primarily by the cross‐country variation captured in the levels equation.  For all three papers, the levels 
equation gives estimates of a negative effect of inequality on growth that are similar to, or slightly larger 
than, the SYS‐GMM estimates.  Accordingly, in much of the discussion below I will focus on instrument 
strength in the levels equation as it provides the best evidence in support of the main conclusions in 
these three papers. 

              I now turn to the question of instrument strength in these specification.11  I first test the null 
hypothesis of underidentification using the Kleibergen and Paap (2006) rk‐LM statistic.  Specifically, the 
null hypothesis is that the matrix of coefficients from the first‐stage regressions is not full rank, signaling 
a complete failure of identification.  This is a fairly undemanding null hypothesis that, even if rejected, 
may still be consistent with the instruments having very weak explanatory power for the endogenous 
variables.  In the case of OBT, the p‐value for the null hypothesis of underidentification is 0.18 in the 
differenced equation, and 0.17 in the levels equation.  Similarly, the null of underidentification is not 
rejected in both the differenced and levels equations for HOZ.  Only in the case of CC is the null of 
underidentification rejected at the 5 percent level.  The failure to reject even this undemanding null 
hypothesis of underidentification at conventional significance levels in these first two studies is a first 
indication of weak instrument problems.    

              I next report the Cragg‐Donald statistic, and the corresponding critical values for the Stock and 
Yogo (2005) test of weak instruments.  The critical values are for a test of the null hypothesis that the 
instruments are weak, where “weak” is defined in terms of a maximal bias of the 2SLS estimates relative 

                                                            
11
   As noted earlier, I take as given the identifying assumptions that generate the internal instruments in the SYS‐
GMM estimator.  However, in the case of OBT it is worth noting that the Hansen test of overidentifying restrictions 
casts some doubt on these identifying assumptions, in the case of the levels equation which drives their results – 
the p‐value for the null hypothesis that the instruments are orthogonal to the error term in the levels equation is 
just 0.036. 

                                                               14 
 
to the OLS estimates.  I use the tabulated critical values for the least demanding version of this 
hypothesis, which allows for a 30 percent maximal relative bias.12   The null hypothesis of weak 
instruments is rejected if the test statistic exceeds the corresponding critical value.   For all three 
studies, and in both the differenced and the levels equation, I find that the null hypothesis of weak 
instruments cannot be rejected, even at the least demanding level of 30% bias.   

              One drawback of the Stock‐Yogo approach is that the weak instrument set in the null 
hypotheses is defined in terms of a weighted average of the relative biases in all of the estimated 
coefficients.  This may disguise the possibility that the coefficients on some variables are more strongly 
identified than others.   To remedy this problem, I report conditional F‐statistics for each first‐stage 
regression proposed by Sanderson and Windmeijer (2015), that can be compared with the Stock‐Yogo 
critical values coefficient‐by‐coefficient to test the null hypothesis of a weak instruments, where “weak” 
is defined in terms of maximal size distortions for a conventional Wald test of a null hypothesis involving 
that parameter only.    In all but one case in Tables 2‐4, the Sanderson‐Windmeijer test fails to reject the 
null of weak instruments, even at the least demanding tabulated critical values corresponding to a 
maximal 25 percent size distortion.  The only exception is in the levels equation of HOZ, where the null 
of weak instruments is rejected for the coefficient on lagged inequality (but not twice‐lagged inequality).   

              A shared shortcoming of both the Stock‐Yogo and Sanderson‐Windmeijer tests for weak 
instruments is that they both are valid only under the assumption of i.i.d. errors.  In contrast, the SYS‐
GMM estimator and the 2SLS estimates of the levels and differenced equations allow for the error terms 
to be heteroskedastic and correlated with each other within countries.  For this reason, these two tests 
for weak instruments should only be interpreted as suggestive evidence of weak identification in this 
particular setting.   Rather than pre‐test for weak instruments, a more direct approach is to base 
inferences on statistics that are robust to the presence of weak instruments.  In Tables 2‐4, I report 
confidence sets for the coefficients on the main inequality variables of interest:  lagged inequality and 
redistribution, in the case of OBT, lagged and twice‐lagged inequality in the case of HOZ, and lagged 
human capital inequality in the case of CC.  These confidence sets are based on the AR statistic, the KJ 
statistics, and the CLR statistics.  As discussed in the previous section, these one‐dimensional confidence 
sets are obtained by projecting the multi‐dimensional confidence set into each axis, and therefore are 


                                                            
12
   Stock and Yogo (2005) tabulate these critical values only for the case of 1, 2, and 3 endogenous regressors, and 
for up to 100 instruments.   The critical values decline slightly with the number of regressors, and I linearly 
extrapolate them to the case of 5 (HOZ) and 6 (CC) endogenous regressors. 

                                                               15 
 
more conservative than their stated 95 percent sizes.  In addition, in Figures 1 and 2, I graph the 
corresponding two‐dimensional confidence sets for the coefficients on the two inequality variables of 
interest in OBT and HOZ, projecting out only the dimension corresponding to the coefficient on lagged 
income.  The corresponding one‐dimensional confidence intervals in Tables 2‐4 are obtained by 
projecting these sets onto the horizontal and vertical axes.   I calculate the confidence sets over a grid of 
values for the coefficients on inequality ranging from ‐2 to 2, and for the coefficient on lagged income 
ranging from 0.75 to 0.99. 

          These weak instrument‐consistent confidence sets for the coefficients on the inequality 
variables are large.  In the case of OBT, the 95 percent weak instrument‐consistent confidence set for 
the effect of inequality on growth contains the entire grid of values from ‐2 to 2.  This holds for both the 
levels and differenced equations, and for all three test statistics.  This implies that weak‐instrument 
robust inference cannot rule out any value within this wide range of hypothesized effects of inequality 
on growth.  To put the size of this range in perspective, OBT’s point estimate of ‐0.71 implies that a 10 
point increase in the Gini coefficient would reduce growth by 1.4 percent per year.  In contrast, the 
weak instrument‐consistent confidence set includes values of the growth effect of inequality of a 10 
point increase in the Gini coefficient ranging from ‐4 percent per year to 4 percent per year (i.e. 
    2	   	0.1   5    4 percent per year).  The confidence sets for the effects of redistribution on growth 
are also large, and consist of the entire grid from ‐2 to 2.  

          These patterns are also quite clear from the two‐dimensional confidence regions for the growth 
effects of inequality (horizontal axis) and redistribution (vertical axis) displayed in Figure 1, for the levels 
equation.  In this figure, the dark‐shaded region represents the combinations of parameter values that 
are not rejected. While their shapes differ somewhat, the AR, KJ, and CLR‐based confidence all include a 
wide range of positive and negative values for the effects of inequality and redistribution on growth.  
Crucially, these confidence sets are quite different from those based on the conventional Wald statistic, 
shown for reference in the top‐left panel.  This conventional confidence set is a small elliptical region 
covering only negative values for the growth effect of inequality, and a roughly even mix of positive and 
negative values for the effects of redistribution on growth.  The difference between the Wald‐based 
confidence sets and the three weak instrument‐consistent confidence sets clearly show that accounting 
for low instrument strength can lead to very different inferences about the key parameters of interest. 

          A similar pattern emerges for HOZ.  For the levels equation, the weak instrument‐consistent 
projection‐based confidence sets in Table 3 cover the entire grid of parameter values for the estimated 

                                                       16 
 
effect of twice‐lagged inequality on growth, using the AR, KJ and CLR statistics.  In the differenced 
equation, the confidence sets are somewhat more compact, but for all three statistics still include both 
positive and negative values for the estimated growth effect of lagged inequality.   Turning to Figure 2, 
the two‐dimensional weak instrument‐consistent confidence sets for the coefficients on lagged and 
twice‐lagged inequality are also quite large and irregular, and typically contain a wide range of positive 
and negative values for the estimated effects of both variables on growth. 

        In the case of CC, the weak instrument‐consistent confidence sets for the effect of inequality on 
growth in the differenced equation are large and contain a wide range of positive and negative values.  
However, in the levels equation the confidence sets are quite small and contain only negative values in 
the case of the K‐J and CLR statistics.  This apparently significant estimated negative effect of inequality 
on growth is at first glance surprising, given that the weak instrument diagnostics discussed previously 
clearly suggested weak instrument problems.  Upon closer inspection, it turns out that these small 
confidence sets appear to be an artifact of the fairly narrow range of grid points values for the 
coefficient on initial income.  If this range is expanded from [0.75, 0.99] to [0.5, 1.5], the confidence set 
for the coefficient on inequality becomes much larger, and consists of values in the range [‐2 ,‐0.22] U 
[0.06, 0.26] U [0.46, 2], i.e. nearly the entire grid for this coefficient.  This is because the data also cannot 
reject a wide range of values corresponding to a positive effect of inequality on growth as well as a 
coefficient on lagged income that is greater than one. 

        One drawback of both the one‐ and two‐dimensional confidence sets discussed above is that 
they are all conservative, because they are constructed by projecting out the dimension corresponding 
to the coefficient on lagged income.  As a robustness check, in Table 5 and Figure 3, I consider the two 
alternative methods for dealing with this coefficient discussed in the previous section.  Figure 3 reports 
true 95 percent two‐dimensional weak instrument‐consistent confidence sets for the coefficients on the 
two inequality variables of interest in the levels equations of OBT and HOZ.  In the first and third 
columns, I assume that the coefficient on initial income is strongly identified, while in the second and 
fourth columns, I impose a value for this coefficient equal to its point estimate from the SYS‐GMM 
estimator.  While the precise shapes of the confidence sets are different across these different choices, 
the main conclusion that they are large and contain a wide range of positive and negative values for the 
estimated effect of inequality on growth remains.  Similarly, in Table 5, I report weak instrument‐
consistent one‐dimensional confidence sets, for these two alternative treatments of the coefficient on 




                                                       17 
 
initial income.  Again, I find that weak instrument‐consistent confidence sets for the main inequality 
variables of interest are large, and always include zero. 

        In summary, all three papers replicated in this section report estimated effects of inequality on 
growth that are significantly negative, based on conventional t‐statistics that rely on standard 
asymptotic approximations.  However, the internal instruments used by the SYS‐GMM estimator appear 
to be weak, undermining the validity of these asymptotic approximations and the inferences to which 
they lead.  When inferences are based on weak instrument‐robust statistics, it no longer is possible to 
rule out (at conventional significance levels) a wide range of both negative and positive effects of 
inequality on growth.  This suggests that strong conclusions about the growth effects of inequality in 
one direction or the other cannot be drawn from the benchmark specifications in these three studies. 

4.    Strength of Alternative Internal Instrument Sets in the SYS‐GMM Estimator 

        In the previous section, I examined instrument strength in the benchmark specifications of the 
papers under consideration and found that the strength of the internal instruments was a major 
concern.  However, there are many options for specifying different combinations of lags of variables as 
internal instruments in the SYS‐GMM estimator, and it is possible that identification could be stronger 
with alternative internal instrument sets.  I systematically explore this possibility in this section of the 
paper, by examining the robustness of the conclusions of the previous section to various choices in 
defining the instrument sets.  To keep things as simple as possible, I focus on the most parsimonious 
specification of an inequality‐and‐growth regression:  a regression of log per capita GDP on lagged log 
per capita GDP and the lagged Gini coefficient, as well as a set of period dummies i.e. Equation (1) with 
                   .  Even in this stripped‐down specification, there are multitudinous possibilities for 
specifying differing sets of internal instruments.  For example, in the differenced equation, any 
combination of twice or higher lagged values of the right‐hand side variables can be used as 
instruments, while in the levels equation any combination of first or higher lags of differences of 
variables are available as instruments.  Since in a large cross‐country panel such as that used by OBT 
there are as many as 8 lags available, this implies that there are in principle 32 different instruments to 
choose from (8 lags x 2 variables x 2 equations).  Since in principle all combinations of these instruments 
are valid instrument sets, this in turn implies 2  or over 4 billion possible instrument sets.  The 
possibilities proliferate further upon realizing that each lag of a variable can appear as a single variable 
in the instrument set (referred to as “collapsed” form in the SYS‐GMM estimator), or as a separate 
variable for each time period after that lag (referred to as “GMM‐style” in the SYS‐GMM estimator).     

                                                      18 
 
              To keep the problem of assessing instrument strength over this proliferation of possible 
instrument sets manageable, I consider only a subset of these possibilities.  In the differenced equation, 
I consider instrument sets consisting of the second to                          1     lags of income and the Gini, for a total 
of         possible combinations of instruments.  Similarly, in the levels equation, I consider instrument sets 
including the first to                       lagged differences of income and the Gini, for a total of     combinations of 
instruments for this equation as well.  In addition, for each of these                                     combinations of 
instruments for the levels and differenced equations together, I consider both the “collapsed” and non‐
“collapsed” versions of the instruments, for a total of 2                      possible instrument sets.  In the results below, 
I set            5 so there are 1250 different possible specifications corresponding to 1250 different 
instrument sets.  These break down into 50 distinct instrument sets for the differenced equation, and 50 
distinct instrument sets for the levels equation. 

              I implement this robustness analysis using the OBT data set as an illustration.  As noted above, I 
consider the minimal specification of a regression of growth on lagged per capita GDP and lagged 
inequality, and so I drop the redistribution variable included in their main regressions.  Since this 
variable does not enter significantly in their benchmark specification, dropping it has little effect on their 
main finding of a negative and significant effect of net inequality on growth.  For each instrument set, I 
implement the SYS‐GMM estimator and retrieve the estimated coefficient on inequality, together with 
its standard error.  Table 6 summarizes the distribution of point estimates of the growth effects of 
inequality, together with the absolute value of their conventional t‐statistics.  Consistent with the 
benchmark specification in OBT, the estimated effect of inequality on growth from the SYS‐GMM 
estimator, reported in the top panel of Table 6, is significantly negative in nearly all specifications.   The 
SYS‐GMM point estimates range from ‐1.4 (at the 10th percentile) to 0.43 (at the 90th percentile), with a 
median value of ‐0.8 which is very close to the OBT benchmark estimates of around ‐0.7.13  The table 
also distinguishes between models with “GMM‐style” and “collapsed” instrument sets, with slightly 
more negative effects when the instrument set is collapsed.  The distribution of t‐statistics shows that in 




                                                            
13
   It is worth noting that the OBT benchmark specification reported in Table 2 does not appear among the 1250 
models summarized in Table 5.  This is due to three different reasons:  (a) as noted previously I do not include the 
lagged redistribution variable that is in OBT’s benchmark specification, (b) OBT do not include the lagged change in 
log GDP per capita in the instrument set for the levels equation, whereas in my robustness analysis here I always 
include at least one lag, and (c) I include the first and higher lags of the change in inequality in the instrument set 
for the levels equation whereas OBT start with the second lag.   

                                                                        19 
 
nearly all specifications, the SYS‐GMM estimate of the effect of inequality on growth is negative and 
statistically significant. 

         The second and third panels of Table 6 report the distribution of results across the 2        50 
possible instrument sets for the differenced and levels equations separately.  I first summarize the 
distribution of the estimated growth effect of inequality from both equations, as well as the distribution 
of the t‐statistics.  Consistent with the findings from the previous section, the estimated growth effects 
of inequality are overwhelmingly negative and with t‐statistics greater than two in absolute value in the 
levels equation.  In contrast, the estimates tend to be positive and not significantly different from zero in 
the differenced equation.  This pattern is very consistent with the benchmark specification in OBT, and 
also in the other papers considered here. 

         The key questions of interest for this paper concern the strength of the internal instruments and 
the implications for inferences about the growth effect of inequality.  As in the previous section, I focus 
on the levels equation, since this is where the evidence for a negative growth effect of inequality 
appears to be strongest.  Consider first tests of underidentification.  The null hypothesis of 
underidentification is rejected for just over half of the 50 models.  However, there is a stark difference 
between models with a small number of instruments (i.e. those in which the instrument set is collapsed) 
and with a large number of instruments (i.e. in which the instruments enter “GMM‐style” with a 
separate instrument for each time period).  The null of underidentification is rejected for 24 out of 25 
models in the former category, but only for four out of 25 models in the latter category.  This is a first 
indication that problems of weak instruments in this setting appear to be much more pronounced when 
the number of instruments is large. 

         I turn next to tests of weak instruments.  In only four of the 50 models considered here does the 
Stock Yogo test reject the null of weak instruments at the least demanding critical value of 30 percent 
maximal 2SLS bias relative to OLS.  Similarly, the Sanderson and Windmeijer test for weak instruments 
based on maximal size distortion for the coefficient on lagged inequality rejects the null of weak 
instruments for only 11 out of the 50 possible models for the levels equation.  These weak instrument 
diagnostics suggest that the problem of weak instruments is pervasive in most of the alternative 
instrument sets considered here.  Consistent with the findings on underidentification, it is also worth 
noting that the problem of weak instruments seems closely related to the number of instruments.  The 
relatively few specifications in which the weak instrument diagnostic tests suggest that instrument 
strength is not a problem all feature a small number of internal instruments.  This is because these 

                                                     20 
 
models tend to have a collapsed instrument set and a small number of lags included in the instruments, 
both of which drastically reduce the number of instruments.  

            It would be tempting to select a preferred model with the strongest internal instruments based 
on these criteria and to base inferences on this one pre‐selected model.  However, a pretesting 
procedure for selecting instruments based on the strength of the first‐stage regression necessarily leads 
to violations of the exclusion restriction, because the selection rule for the instruments reflects their 
correlation with the endogenous variables.  Rather than follow such a data‐based rule for selecting the 
instrument set, I simply report the weak instrument‐consistent confidence sets for the effect of 
inequality on growth from all 50 versions of the levels equation.  These are summarized graphically in 
Figure 4, which consists of four panels corresponding to confidence sets based on the AR, KJ, and CLR 
tests, as well as conventional confidence sets based on a standard Wald test, i.e. the 2SLS point estimate 
+/‐ 1.96 times the 2SLS standard error.   The horizontal axis in each panel contains the hypothesized 
values for  , on a grid from ‐2 to 2.  Each horizontal line represents the values of   included in the 
confidence set for a given model.  Models are identified numerically from model 1 to model 50 on the 
vertical axis.  Note that models are ordered such that first 25 models have “GMM‐style” instruments 
while the second 25 models have “collapsed” instruments.  Within the two groups, a model with the 
first to       lagged difference of log GDP per capita and the first to         lagged difference of the Gini 
coefficient as instruments is assigned model number            1 5         , for  ,    1, … , 5.  So, for example, 
the model for the levels equation in which the instrument set consists of the first             2 lagged changes 
of log income per capita and the first         3 lagged changes in the Gini is assigned model number 8 
when the instruments enter “GMM‐style” with one instrument for each time period, and model number 
25+8=33 when the instruments enter “collapsed”. 

            Several features of this graph are noteworthy.  A first general observation is that the weak 
instrument robust confidence sets in the second, third, and fourth panels are very different from the 
conventional confidence intervals based on a standard Wald test shown in the first panel.  Consistent 
with Table 6, the Wald confidence sets are all fairly small, and almost all of them include almost 
exclusively negative values for the estimated growth effect of inequality.  In contrast, the weak 
instrument‐consistent confidence sets are frequently quite large, particularly among the first 25 models 
which feature a large number of “GMM‐style” instruments, as in the benchmark specifications of all of 
the papers reviewed here.  While a few specifications deliver small confidence sets excluding zero, many 
of the confidence sets contain a wide range of positive and negative values of  .  In fact, reading 


                                                        21 
 
vertically upwards from each hypothesized value of   on the horizontal axis, it is clear that every value 
of   between ‐2 and 2 is included in the weak instrument robust confidence set for at least one of the 
first 25 models.   

        The second key feature of this figure is that there is a stark difference between models that 
allow for “GMM‐style” instruments versus “collapsed” instruments, i.e. the first 25 models versus the 
second 25 models.  For models with “collapsed” instruments, the confidence sets are almost always 
empty when they are based on the AR and KJ tests.  Recall that these test the joint null hypothesis that 
(a) the parameter is equal to its hypothesized value, and (b) the overidentifying restrictions are true at 
the hypothesized parameter values.  In order to understand better which of these two hypotheses is 
being rejected throughout the parameter space, it is useful to unbundle the KJ test into its separate 
tests of these two null hypotheses.  This reveals that in most cases the test rejects because the data 
strongly reject the overidentifying restrictions over the entire parameter space considered here.  Finally, 
the CLR statistic tests only the null that the parameters are equal to their hypothesized values.  Since 
this test assumes that the overidentifying restrictions are true, the confidence sets are not 
predominantly empty, as is the case for the AR and KJ‐based confidence sets. However, it is interesting 
that the CLR‐based tests include mostly positive values for the growth effect of inequality.   

        Overall, the picture that emerges from Table 6 and Figure 4 is discouraging for the robustness of 
conclusions that can be drawn from inequality and growth regressions estimated using the SYS‐GMM 
estimator.  On the one hand, a researcher relying only on conventional asymptotic approximations 
might point to the results in Table 5 and the first panel of Figure 4 to support the claim that SYS‐GMM 
delivers a significantly negative estimated growth effect of inequality, that is robust to a wide range of 
possible choices of instruments.  On the other hand, a researcher who takes instrument strength 
seriously and bases inferences about the estimated growth effect of inequality on the levels equation on 
the KJ test could find a combination of instruments that delivers a confidence set that (i) suggests a 
significant negative effect of inequality on growth, e.g. Model 3; (ii) suggests an “almost” significant 
positive effect on growth, e.g. Model 13; (iii) suggests an effect on growth that is insignificantly different 
from zero, e.g. most other models with “GMM‐style” instruments, or (iv) that is empty, suggesting that 
the data reject the overidentifying restrictions at every hypothesized parameter value, e.g. most models 
with a “collapsed” instrument set.   

        Taken together, however, the overall picture that emerges from Figure 4 is fairly clear.  
Considering the weak instrument‐consistent confidence sets in the second, third, and fourth panels, it is 

                                                      22 
 
clear that very few of them support strong conclusions about either a significantly positive or 
significantly negative effect of inequality on growth.  However, the fact that there are a handful of cases 
that depart from this general pattern suggests that it is important for users of SYS‐GMM to 
systematically document that their conclusions hold not just when appropriately accounting for 
instrument strength, but also across a range of possible instrument sets.  

5.  Conclusions  

        The question of the effect of inequality on growth is of central importance to researchers and 
policy makers.  Several recent papers have contributed to an emerging empirical consensus that 
inequality is harmful for growth by reporting SYS‐GMM estimates of cross‐country growth regressions 
that show a statistically‐significant negative effect of inequality on growth.  However, an 
underappreciated concern with this empirical approach is that the internal instruments relied on by this 
estimator to isolate causal effects can be weak.  A large literature on weak instruments has shown that 
when instruments are weak, inferences based on conventional Wald statistics are misleading.  This 
literature has also developed alternative approaches to inference that are valid when instruments are 
weak.  However, these techniques are rarely applied in cross‐country growth empirics that rely on the 
SYS‐GMM estimator, including the four studies reviewed here. 

        In this paper, I have used standard diagnostic tools from the literature on weak instruments to 
show pervasive evidence of weak internal instruments in the benchmark specifications of three of these 
inequality‐and‐growth studies.  I also showed that weak instrument‐consistent confidence sets for the 
estimated effect of inequality on growth include a wide range of positive and negative values, 
suggesting that strong conclusions about either negative or positive growth effects of inequality cannot 
be drawn from these benchmark specifications.   

        Of course, one should not generalize from this particular finding in a few benchmark empirical 
specifications in a small number of recent papers to the broader conclusion that cross‐country 
regressions are necessarily uninformative about the effects of inequality on growth.  One should also 
not conclude from this that the popular SYS‐GMM estimator is not a useful tool for conducting cross‐
country growth empirics.  Rather, this paper simply demonstrates that, once instrument strength is 
properly taken into account, the benchmark specifications in these recent empirical studies are not very 
informative about the effects of inequality on growth.  This clearly does not rule out the possibility that 
there may be other empirical specifications for the relationship between inequality and growth that 


                                                     23 
 
support stronger conclusions ‐‐ in either direction ‐‐ on this important issue.  Similarly, there may very 
well be other applications of SYS‐GMM in cross‐country growth empirics in which weak instrument 
problems do not arise, or even if they do, that weak instrument‐consistent confidence sets nevertheless 
are meaningfully small and support strong conclusions about the sign and size of the growth effect of 
the variable under consideration.   

              More generally, this paper underscores the importance of routinely documenting instrument 
strength in applications of the SYS‐GMM estimator to cross‐country growth empirics, and of relying on 
weak instrument‐robust approaches to inference as appropriate.  Moreover, the results in the last 
section of this paper suggest the importance of also systematically documenting the sensitivity of 
conclusions about parameters of interest to a reasonably broad set of choices for constructing the 
instrument set within SYS‐GMM.  While users of these techniques should probably avoid using this 
sensitivity analysis to “mine” the universe of possible instrument sets to isolate those that are strong, 
the results of Section 4 do suggest that taking care to limit the proliferation in the number of 
instruments (by limiting lags and by “collapsing” the instruments) is likely to lead to stronger 
identification of the parameters of interest.14   There probably also is scope to apply recent techniques 
from the literature on many weak instruments to the specific setting of the SYS‐GMM estimator to 
improve instrument strength as well as to remove some of the discretion in the choice of the instrument 
set (see for example Hansen and Kozbur (2014) and references therein).  Finally, consumers of cross‐
country empirical studies using the SYS‐GMM estimator should expect authors to report weak 
instrument diagnostics, weak instrument‐consistent approaches to inference, and sensitivity analysis 
over alternative instrument sets, in order to help them to assess the reliability of the evidence reported 
in these studies.  

 

References 

Anderson, T. W. and H. Rubin (1949).  “Estimation of the Parameters of a Single Equation in a Complete 
Set of Stochastic Equations”.  The Annals of Mathematical Statistics”.  20:46‐63. 

Arellano, Manuel and Stephen Bond (1991).  “Some Tests of Specification for Panel Data: Monte Carlo 
Evidence and an Application to Employment Equations”.  Review of Economic Studies.  58(2):277‐97. 


                                                            
14
   This recommendation echoes a similar point made in Roodman (2009), but from the perspective of avoiding the 
risk of overfitting in the first stage regressions when the number of instruments is large relative to the number of 
observations. 

                                                               24 
 
Arellano, Manuel and Olympia Bover (1995).  “Another Look at the Instrumental Variable Estimation of 
Error‐Components Models”.  Journal of Econometrics.  68(1):29‐51.   

Barro, Robert (2000).  “Inequality and Growth in a Panel of Countries”.  Journal of Economic Growth.  
5(1):5‐32. 

Baum, Christopher, Mark Schaffer, and Stephen Stillman (2007).  “Enhanced Routines for Instrumental 
Variables/GMM Estimation and Testing”.  Stata Journal.  7(4):465‐506. 

Bazzi, Samuel and Michael Clemens (2013).  “Blunt Instruments:  Avoiding Common Pitfalls in Identifying 
the Causes of Economic Growth”.  American Economic Journal:  Macroeconomics.  5(2):152‐186. 

Blundell, Richard and Stephen Bond (2000).  “Initial Conditions and Moment Restrictions in Dynamic 
Panel Data Models”.  Journal of Econometrics. 87(1):115‐143. 

Bun, Maurice and Frank Windmeijer (2009).  “The Weak Instrument Problem of the System GMM 
Estimator in Dynamic Panel Data Models”.  The Econometrics Journal.  13:95‐126. 

Caselli, Francesco, Gerardo Esquivel and Fernando Lefort (1996).  “Reopening the Convergence Debate:  
A New Look at Cross‐Country Growth Empirics”.  Journal of Economic Growth.  1(3):363‐89. 

Castelló‐Climent, Amparo (2010).  “Inequality and Growth in Advanced Economies:  An Empirical 
Investigation”.  Journal of Economic Inequality.  2010(8):293‐321. 

Castelló‐Climent, Amparo and Rafael Domenech (2002).  “Human Capital Inequality and Economic 
Growth:  Some New Evidence”.  Economic Journal.  112:C187‐C200. 

Chernozhukov, Viktor  and Christian Hansen (2008).  “The Reduced Form:  A Simple Approach to 
Inference with Weak Instruments”.  Economics Letters.  100(1):67‐71. 

Dabla‐Norris, Era, Kalpana Kochhar, Frantisek Ricka, Nujin Suphaphiphat, and Evridiki Tsounta (2015).  
“Causes and Consequences of Income Inequality:  A Global Perspective”.  IMF Staff Discussion Note No. 
15/13. 

Dollar, David and Aart Kraay (2003).  “Institutions, Trade and Growth:  Revisiting the Evidence”.  World 
Bank Policy Research Department Working Paper No. 3004. 

Easterly, William (2007).  “Inequality Does Cause Underdevelopment:  Insights from a New Instrument”.  
Journal of Development Economics.  84(2):755‐766. 

Finlay, K., Magnusson, L.M., Schaffer, M.E. (2013).  “weakiv: Weak‐instrument‐robust tests and 
confidence intervals for instrumental‐variable (IV) estimation of linear, probit and tobit models”. 
http://ideas.repec.org/c/boc/bocode/s457684.html. 

Forbes, Kristin (2000).  “A Reassessment of the Relationship Between Inequality and Growth”.  American 
Economic Review.  90(4):869‐87. 

Halter, Daniel, Manuel Oechslin, and Josef Zweimüller (2014).  “Inequality and Growth:  The Neglected 
Time Dimension”.  Journal of Economic Growth.  19:81‐104. 




                                                    25 
 
Hansen, Christian and Damian Kozbur (2014).  “Instrumental Variables Estimation with Many Weak 
Instruments Using Regularized JIVE”.  Journal of Econometrics.  182:290‐308. 

Holtz‐Eakin, Douglas, Whitney Newey and Harvey S. Rosen (1988).  “Estimating Vector Autoregressions 
With Panel Data”.  Econometrica.  56(6): 1371‐1395. 

Jenkins, Stephen (2014).  “World Income Inequality Databases:  An Assessment of the WIID and SWIID”.  
Institute for Social and Economic Research Working Paper No. 2008‐31. 

Kleibergen, Frank (2002).  “Pivotal Statistics for Testing Structural Parameters in Instrumental Variables 
Regression”.  Econometrica.  70(5):1781‐1803. 

Kleibergen, Frank (2004).  “Testing Subsets of Structural Parameters in the Instrumental Variables 
Regression Model”.  Review of Economics and Statistics.  86:418‐423. 

Kleibergen, Frank (2005).  “Testing Parameters in GMM Without Assuming that They Are Identified”.  
Econometrica. 73:1103‐1123. 

Kleibergen, Frank and Richard Paap (2006).  “Generalized Reduced Rank Tests Using the Singular Value 
Decomposition”.  Journal of Econometrics. 133:97‐126. 

Mikusheva, Anna (2013).  “Survey on Statistical Inferences in Weakly‐Identified Instrumental Variables 
Models”.  Applied Econometrics.  29(1):117‐131. 

Moreira, Marcelo (2003).  “A Conditional Likelihood Ratio Test for Structural Models”.  Econometrica. 
71:1027‐1048. 

Murray, Michael (2006).  "Avoiding Invalid Instruments and Coping with Weak Instruments".  Journal of 
Economic Perspectives. 20(4):111‐132. 

Nelson, Charles and Richard Startz (1990).  “Some Further Results on the Exact Small Sample Properties 
of the Instrumental Variables Estimator”.  Econometrica.  58(4):967‐976. 

Ostry, Jonathan, Andrew Berg, and Charalambos Tsangarides (2014).  “Redistribution, Inequality, and 
Growth”.  IMF Staff Discussion Note SDN14/02.   

Roodman, D. (2009). “How to do xtabond2: An Introduction to Difference and System GMM in Stata”. 
Stata Journal 9(1): 86‐136. 

Sanderson, Eleanor and Frank Windmeijer (2015).  “A Weak‐Instrument F‐test in Linear IV Models with 
Multiple Endogenous Variables”.  Journal of Econometrics.  In press. 

Solt, F. (2009).  “Standardizing the World Income Inequality Database”.  Social Science Quarterly. 
90(2):231–42. 

Stock, James and Motohiro Yogo (2005).  “Testing for Weak Instruments in Linear IV Regression”, in 
Identification and Inference for Econometric Models:  Essays in Honour of Thomas Rothenberg, edited by 
Donald Andres and James Stock.  80‐108.  New York:  Cambridge University Press. 




                                                    26 
 
Voitchovsky, Sarah (2005).  “Does the Profile of Income Inequality Matter for Economic Growth?  
Distinguishing Between the Effects of Inequality in Different Parts of the Income Distribution”.  Journal 
of Economic Growth.  10(3):273‐296. 

                                  




                                                    27 
 
     
                               Figure 1: Confidence Sets for the Coefficient on Inequality (Horizontal Axis) 
                                        and Redistribution (Vertical Axis) in the Levels Equation ‐‐  
                                       Ostry, Berg and Tsangarides (2014) Benchmark Specification 
     
                           Panel 1:  Based on Wald Statistic                                                Panel 2:  Based on AR‐Statistic 
                                           WALD                                                                              AR
                                        95% Confidence set                                                              95% Confidence set
             2




                                                                                              2
             1




                                                                                              1
        beta: xlev3




                                                                                         beta: xlev3
             0




                                                                                              0
             -1




                                                                                              -1
             -2




                                                                                              -2
                      -2           -1             0            1       2
                                             beta: xlev2                                               -2          -1             0          1   2
                                                                                                                             beta: xlev2

                                                                                                                                                      
                            Panel 3:  Based on KJ Statistic                                                 Panel 4:  Based on CLR Statistic 
                                              KJ                                                                            CLR
                                        95% Confidence set                                                              95% Confidence set
              2




                                                                                              2
              1




                                                                                              1
        beta: xlev3




                                                                                         beta: xlev3
             0




                                                                                              0
              -1




                                                                                              -1
              -2




                                                                                              -2




                      -2           -1             0                1       2                           -2          -1             0          1   2
                                             beta: xlev2                                                                     beta: xlev2


                                                                                                                                                      
    Notes:  This figure reports confidence sets for the coefficient on the net gini (horizontal axis) and redistribution (vertical 
    axis).  The dark‐shaded region corresponds to combinations of hypothesized values for these two parameters that jointly are 
    not rejected by the Wald, AR, KJ and CLR tests.   
 

                                                            




                                                                                   28 
 
     
                           Figure 2: Confidence Sets for the Coefficient on Lagged Inequality (Horizontal Axis) 
                                   and Twice‐Lagged Inequality (Vertical Axis) in the Levels Equation ‐‐  
                                    Halter, Oechshlin and Zweimüller (2014) Benchmark Specification 
     
                           Panel 1:  Based on Wald Statistic                                    Panel 2:  Based on AR‐Statistic 
                                           WALD                                                                  AR
                                        95% Confidence set                                                  95% Confidence set
             2




                                                                                  2
             1




                                                                                  1
        beta: xlev3




                                                                             beta: xlev3
             0




                                                                                  0
             -1




                                                                                  -1
             -2




                                                                                  -2
                      -2           -1             0            1   2                       -2          -1             0          1   2
                                             beta: xlev2                                                         beta: xlev2


                                                                                                                                          
                            Panel 3:  Based on KJ Statistic                                     Panel 4:  Based on CLR Statistic 
                                             KJ                                                                 CLR
                                        95% Confidence set                                                  95% Confidence set
             2




                                                                                  2
             1




                                                                                  1
        beta: xlev3




                                                                             beta: xlev3
             0




                                                                                  0
             -1




                                                                                  -1
             -2




                                                                                  -2




                      -2           -1             0            1   2                       -2          -1             0          1   2
                                             beta: xlev2                                                         beta: xlev2


                                                                                                                                          
    Notes:  This figure reports confidence sets for the coefficient on the lagged gini (horizontal axis) and twice lagged gini 
    (vertical axis).  The dark‐shaded region corresponds to combinations of hypothesized values for these two parameters that 
    jointly are not rejected by the Wald, AR, KJ and CLR tests.  
                                                            




                                                                       29 
 
                                                                                           
                                                              Figure 3:  Alternative Two‐Dimensional Confidence Sets 
                                   OBT ‐‐ Coefficient on Initial Income is:                               HOZ‐‐ Coefficient on Initial Income is: 
                           Strongly Identified             Fixed at SYS‐GMM Estimate              Strongly Identified            Fixed at SYS‐GMM Estimate 
                                        AR                                                               AR                                                         AR                                                       AR

                                   95% Confidence set                                               95% Confidence set                                         95% Confidence set                                       95% Confidence set




                                                                                                                                                                                                     2
                                                                                                                                            2
              2




                                                                                 2




                                                                                                                                                                                                     1
                                                                                                                                            1
              1




                                                                                 1




                                                                                                                                                                                                beta: xlev2
                                                                                                                                       beta: xlev3
        beta: xlev3




                                                                            beta: xlev2




                                                                                                                                                                                                     0
                                                                                                                                            0
             0




                                                                                 0




                                                                                                                                                                                                     -1
                                                                                                                                            -1
              -1




                                                                                 -1




                                                                                                                                                                                                     -2
                                                                                                                                            -2
              -2




                                                                                 -2
                                                                                                                                                                                                              -2   -1             0          1   2
                                                                                                                                                     -2   -1             0          1   2                                    beta: xlev1
                      -2      -1             0          1   2                             -2   -1             0          1   2                                      beta: xlev2
                                        beta: xlev2                                                      beta: xlev1

                                                                                                                                                                                                                                                      
                                                                                                                                  
                                        KJ                                                               KJ                                                         KJ                                                       KJ

                                   95% Confidence set                                               95% Confidence set                                         95% Confidence set                                       95% Confidence set




                                                                                                                                                                                                     2
                                                                                                                                            2
              2




                                                                                 2




                                                                                                                                                                                                     1
                                                                                                                                            1
              1




                                                                                 1




                                                                                                                                                                                                beta: xlev2
                                                                                                                                       beta: xlev3
        beta: xlev3




                                                                            beta: xlev2




                                                                                                                                                                                                     0
                                                                                                                                            0
             0




                                                                                 0




                                                                                                                                                                                                     -1
                                                                                                                                            -1
              -1




                                                                                 -1




                                                                                                                                                                                                     -2
                                                                                                                                            -2
              -2




                                                                                 -2




                                                                                                                                                                                                              -2   -1             0          1   2
                                                                                                                                                     -2   -1             0          1   2                                    beta: xlev1
                      -2      -1             0          1   2                             -2   -1             0          1   2                                      beta: xlev2
                                        beta: xlev2                                                      beta: xlev1

                                                                                                                                                                                                                                                      
                                                                                                                                  
                                        CLR                                                              CLR                                                       CLR                                                      CLR

                                   95% Confidence set                                               95% Confidence set                                         95% Confidence set                                       95% Confidence set




                                                                                                                                                                                                     2
                                                                                                                                            2
             2




                                                                                  2




                                                                                                                                                                                                     1
                                                                                                                                            1
             1




                                                                                  1




                                                                                                                                                                                                beta: xlev2
                                                                                                                                       beta: xlev3
        beta: xlev3




                                                                            beta: xlev2




                                                                                                                                                                                                     0
                                                                                                                                            0
             0




                                                                                 0




                                                                                                                                                                                                     -1
                                                                                                                                            -1
             -1




                                                                                  -1




                                                                                                                                                                                                     -2
                                                                                                                                            -2
             -2




                                                                                  -2




                                                                                                                                                                                                              -2   -1             0          1   2
                                                                                                                                                     -2   -1             0          1   2                                    beta: xlev1
                      -2      -1             0          1       2                         -2   -1             0          1   2                                      beta: xlev2
                                        beta: xlev2                                                      beta: xlev1
                                                                                                                                                                                                                                                      
                                                                                                                                  
     Notes:  This figure reports confidence sets for the coefficients on the two inequality variables of interest in OBT and HOZ.  For OBT, the graphs show the confidence sets 
     for the net gini (horizontal axis) and redistribution (vertical axis).  For HOZ, the graphs show the confidence sets for lagged inequality (horizontal axis) and twice‐lagged 
     inequality (vertical axis).  The dark‐shaded region corresponds to combinations of hypothesized values for these two parameters that jointly are not rejected by the Wald, 
     AR, KJ and CLR tests.  In the first and third columns the coefficient on initial income is assumed to be strongly identified, while in the second and fourth columns it is fixed 
     at its point estimate from the SYS‐GMM estimator. 
                                                                 

                                                                                                                                 30 
 
                                                                                       
                                                 Figure 4:  Conventional and Weak Instrument‐Robust Confidence Sets for  
                                                         Growth Effect of Inequality Based on the Levels Equation 
                                                                                       




                                               Wald                              AR                                    KJ                             CLR
                                      50




                                                                      50




                                                                                                            50




                                                                                                                                            50
                                      40




                                                                      40




                                                                                                            40




                                                                                                                                            40
                                      30




                                                                      30




                                                                                                            30




                                                                                                                                            30
                              Model




                                                              Model




                                                                                                    Model




                                                                                                                                    Model
                                      20




                                                                      20




                                                                                                            20




                                                                                                                                            20
                                      10




                                                                      10




                                                                                                            10




                                                                                                                                            10
                                      0




                                                                      0




                                                                                                            0




                                                                                                                                            0
                                           -2 -1 0 1 2                     -2 -1 0 1 2                           -2 -1 0 1 2                     -2 -1 0 1 2
                                             Value for Beta                  Value for Beta                        Value for Beta                  Value for Beta




                                                                                                                                                                     
    Notes:  This figure reports confidence sets for the estimated growth effect of inequality from the levels regression of a variant of OBT that excludes redistribution from the 
    growth regression.  Each horizontal line represents a different model with a different choice of lags of changes in income and inequality used as internal instruments.  In the 
    first 25 models the instruments enter “GMM style” with one variable per time period for each instrument.  In the second 25 models the instruments are “collapsed” with 
    one column in the instrument matrix for each instrument. 


                                                                                              31 
 
 

 

                                                                                                
                                                           Table 1: Summary of Inequality and Growth Studies 
                                                                                          
                                                                                                                                                                        
                       Paper                                          Choice of Explanatory Variables                                  Location of           Source of Inequality 
                                                                                                                                       Benchmark                    Data 
                                                                                                                                      Specification 
                                                                                                                                              
                                                                                                                                                                        
     Ostry, Berg, and Tsangarides (2014)                                                                                            Table 3, Column 1            Solt (2009) 
     (OBT) 
      
                                                                                                                                                                      
     Halter, Oechslin, and Zweimüller                                                                                               Table 3, Column 4        UNU‐Wider World 
     (2014) (HOZ)                                                                          	       	   	                                                     Income Inequality 
                                                                                                                                                                 Database 
                                                                                                                                                                      
                                                                                                                                                          
     Dabla‐Norris, Kochhar,                                                                            ∆                            Table 1, Column 1            Solt (2009) 
     Suphaphihpat, Ricka and Tsounta 
     (2015) (DKSRT) 
      
                                                                                                                                                                       
     Castelló‐Climent (2010) (CC)                                                                                                   Table 1, Column 1          Human capital 
                                                                             	             /                                                                  inequality from 
                                                                                                                                                                Castelló and 
                                                                                                                                                             Domenech (2002) 
                                                                                                                                                                       
     Notes:  This table summarizes the choice of explanatory variables included in the benchmark specifications of the four inequality and growth studies considered here.  These 
     choices are embedded in the dynamic panel growth regression in Equation (1) in the text. 
                                            




                                                                                           32 
 
                                                                                    
                                           Table 2:  Ostry, Berg and Tsangarides (2014) Benchmark Specification 
                                                                                    
                                                                         (1)                               (2)                                (3) 
                                                                      SYS‐GMM                  Differenced Equation, 2SLS            Levels Equation, 2SLS  
    Lagged Income                                        0.970***                             0.281***                        0.973*** 
                                                         (0.017)                              (0.108)                         (0.019) 
    Lagged Net Gini                                      ‐0.708***                            0.525                           ‐0.939*** 
                                                         (0.215)                              (0.399)                         (0.297) 
    Lagged Redistribution                                ‐0.033                               0.540                           ‐0.409 
                                                         (0.259)                              (0.485)                         (0.300) 
    P‐value for Ho:  Overidentification                  0.300                                0.117                           0.036 
    P‐value for Ho:  Underidentification                                                      0.177                           0.168 
    Cragg‐Donald Wald F‐Statistic                                                             2.03                            2.01 
    Crit. Val. for 30% Maximal  Relative Bias                                                 3.93                            4.13  
    Sanderson‐Windmeijer Conditional F‐statistics                                             20.62 (32.59)                   8.25 (7.49) 
    for lagged Gini (Redistribution) 
    Crit. Val. for 25% Maximal Size                                                   49.22                                   26.08 
    Weak Instrument‐consistent 95% Confidence Sets Based on Projecting AR‐Based Confidence Sets 
       Net Gini                                                                       [   ...     ,     ...  ]                [   ...     ,     ...  ] 
       Redistribution                                                                 [   ...     ,     ...  ]                [   ...     ,     …  ] 
    Weak‐Instrument‐Consistent 95% Confidence Sets Based on Projecting KJ‐Based Confidence Sets 
         Lagged Net Gini                                                              [   ...     ,     ...  ]                [   ...     ,     ...  ] 
         Lagged Redistribution                                                        [   ...     ,     ...  ].               [   ...     ,     …  ] 
    Weak Instrument‐Consistent 95% Confidence Sets Based on Projecting CLR‐Based Confidence Sets 
         Lagged Net Gini                                                              [   ...     ,     ...  ]                [   ...     ,     ...  ] 
         Lagged Redistribution                                                        [   ...     ,     ...  ]                [   ...     ,     …  ] 
    Period Dummies                                               Yes                                        Yes                                           Yes 
    Instruments In Differenced Equation                          ,…,                                        ,…,                
                                                                   ,     ,                                    ,    , 
                                                                   ,                                          ,      
    Instruments In Levels Equation                          ∆      ,∆       ,                                                                 ∆            ,∆    , 
                                                            ∆      ,∆                                                                         ∆            ,∆      
    Number of Excluded Instruments                               106                                         72                                           34 
    Number of Countries                                          130                                        125                                           130 
    Number of Observations                                       828                                        678                                           828 
                                                                                 

                                                                                       33 
 
                                              Table 3:  Halter, Oechslin and Zweimüller (2014) Benchmark Specification 
                                                                                          
                                                                              (1)                                (2)                                    (3) 
                                                                           SYS‐GMM                   Differenced Equation, 2SLS                Levels Equation, 2SLS  
    Lagged Income                                               0.998***                            ‐0.040                              0.999*** 
                                                                (0.013)                             (0.278)                             (0.015) 
    Lagged Gini                                                 0.160                               1.897***                            0.079 
                                                                (0.178)                             (0.661)                             (0.201) 
    Twice‐Lagged Gini                                           ‐0.671***                           0.939***                            ‐0.754*** 
                                                                (0.206)                             (0.201)                             (0.239) 
    P‐value for Ho:  Overidentification                         0.022                               0.023                               0.158 
    P‐value for Ho:  Underidentification                                                            0.140                               0.205 
    Cragg‐Donald Wald F‐Statistic                                                                   1.50                                1.67 
    Crit. Val. for 30% Maximal  Relative Bias                                                       4.59                                4.39  
    Sanderson‐Windmeijer Conditional F‐statistics for                                               4.15                                23.46 (10.14) 
    lagged Gini (twice lagged Gini) 
    Crit. Val. for 25% Maximal Size                                                         12.82                                  14.00 
    Weak Instrument‐consistent 95% Confidence Sets Based on Projecting AR‐Based Confidence Sets 
         Lagged Gini                                                                        [ 0.94,   ...  ]                       [   ...     ,     ...  ] 
        Twice‐Lagged Gini                                                                   [‐0.20, 1.35]                          [   ...     ,     ...  ] 
    Weak‐Instrument‐Consistent 95% Confidence Sets Based on Projecting KJ‐Based Confidence Sets 
        Lagged Gini                                                                         [ 0.37,   ...  ]                       [   ...     ,     ...  ] 
        Twice‐Lagged Gini                                                                   [‐1.18, 1.84]                          [   ...     ,     ...  ] 
    Weak Instrument‐Consistent 95% Confidence Sets Based on Projecting CLR‐Based Confidence Sets 
        Lagged Gini                                                                         [ 0.78,   ...  ]                       [   ...  , 0.78] U  0.94    
        Twice‐Lagged Gini                                                                   [‐0.04, 1.27]                          [   ...     ,     ...  ] 
    Period Dummies                                                       Yes                                  Yes                                            Yes 
    Excluded Instruments In Differenced Equation                           ,                                   ,                    
    Excluded Instruments In Levels Equation                         ∆      ,∆                                                                       ∆         ,∆     
    Number of Excluded Instruments                                        26                                  12                                             14 
    Number of Countries                                                   88                                  62                                             88 
    Number of Observations                                               286                                  191                                            286 
    Note:  Included instruments are period effects in both the levels and differenced equations, and ∆            in the differenced equation. 
 

                                           


                                                                                             34 
 
 

                                                                                    
                                                 Table 4:  Castelló‐Climent (2010) Benchmark Specification 
                                                                                    
                                                                       (1)                                (2)                                       (3) 
                                                                    SYS‐GMM                   Differenced Equation, 2SLS                   Levels Equation, 2SLS  
    Lagged Income                                       0.978***                             0.345*                                 0.941*** 
                                                        (0.035)                              (0.161)                                (0.073) 
    Lagged Gini                                         ‐0.245                               0.817                                  ‐0.505 
                                                        (0.160)                              (0.510)                                (0.381) 
    P‐value for Ho:  Overidentification                 0.321                                0.477                                  0.06 
    P‐value for Ho:  Underidentification                                                     0.022                                  0.044 
    Cragg‐Donald Wald F‐Statistic                                                            2.96                                   2.06 
    Crit. Val. for 30% Maximal  Relative Bias                                                4.11                                   4.48 
    Sanderson‐Windmeijer Conditional F‐statistic                                             13.29                                  2.04 
    for lagged Gini  
    Crit. Val. for 25% Maximal Size                                                          30.94                                  15.19 
    Weak Instrument‐consistent 95% Confidence Sets Based on AR Statistic 
       Lagged Gini                                                                           [‐1.27, 1.68]                          [‐1.27, ‐0.10] 
    Weak‐Instrument‐Consistent 95% Confidence Sets Based on KJ Statistic 
       Lagged Gini                                                                           [   ...  ,‐1.27] U [‐1.11 , 1.07]      [‐1.52, 0.06] 
    Weak Instrument‐Consistent 95% Confidence Sets Based CLR Statistic 
       Lagged Gini                                                                           [‐0.75, 1.07]                          [‐1.19,‐0.06] 
    Period Dummies                                                Yes                                         Yes                                     Yes 
    Excluded Instruments In Differenced Equation          ,…,      ,      ,…,                      ,…,         ,     ,…,             
    Excluded Instruments In Levels Equation                     ∆      ,∆                                                                     ∆        ,∆     
    Number of Excluded Instruments                                    58                                      42                                      16 
    Number of Countries                                               102                                     101                                     102 
    Number of Observations                                            809                                     707                                     809 
    Note:  Period effects are included instruments.  
     




                                                                                   35 
 
     
                Table 5:  Weak Instrument‐Consistent Confidence Sets for Levels Equation ‐‐  
                            Alternative Treatments of Coefficient on Initial Income 
                                                             
                                                               Coefficient on Initial Income is: 
                                                     Strongly Identified             Fixed at SYS‐GMM Estimate 
    OBT: Lagged Inequality  
      AR                                [ ...  , …  ]                                [ ...  ,‐0 .37] U [0.29,1.51] 
      KJ                                [ ...  , …  ]                                [ ...  , …  ] 
      CLR                               [ ...  , …  ]                                [ ...  , …  ] 
    OBT: Lagged Redistribution  
      AR                                [ … , ‐0.04]                                 [   ...  , 0.53] 
      KJ                                [ … , 1.18]                                  [ ...  , …  ] 
      CLR                               [ ...  ,0.12] U [1.92,… ]                    [ ...  , …  ] 
    HOZ: Lagged Inequality  
      AR                                [   ...  , 1.02]                             [ ...  , …  ] 
      KJ                                [   ...  , 1.43]                             [ ...  , …  ] 
      CLR                               [   ...  , 1.92]                             [ ...  , …  ] 
    HOZ: Twice Lagged Inequality  
      AR                                [   ...  ,  0.78]                            [ ...  , …  ] 
      KJ                                [   ...  ,  1.76]                            [ ...  , …  ] 
      CLR                               [   ...  ,  1.67]                            [ ...  , …  ] 
    CC: Lagged Inequality                                                             
      AR                                [‐0.85, ‐0.31] U [ 0.02,  ...  ]             [‐0.34, 0.22] 
      KJ                                [‐1.92,‐1.59] U [‐0.95,   ...  ]             [‐0.39, 0.33] 
      CLR                               [‐0.76,‐0.38] U [‐0.31,   ...  ]             [‐0.32, 0.22] 
                                                                                      
    Note:  This table reports weak instrument‐consistent confidence sets for the coefficients on the main inequality variables of 
    interest in OBT, HOZ and CC.  In the case of OBT and CC, these come from projecting the confidence sets in Figure 3 onto the 
    corresponding axes.  For CC the confidence sets are exact.  In the first column the coefficient on initial income is assumed to 
    be strongly identified, while in the second column it is fixed at its point estimate from the SYS‐GMM estimator. 
                                           




                                                                  36 
 
     
                               Table 6:  Robustness Across Alternative Instrument Sets 
                             (OBT Dataset, Levels Equation, Redistribution Not Included) 
                                                            
     
               Panel A ‐‐ SYS‐GMM Estimates
                                      N         mean        sd        p10       p25        p50        p75        p90
               Coefficient on Lagged Inequality
               GMM‐style                 625       ‐0.55      0.13      ‐0.76     ‐0.66      ‐0.51      ‐0.44      ‐0.40
               Collapsed                 625       ‐1.18      0.33      ‐1.81     ‐1.20      ‐1.06      ‐0.97      ‐0.89
               Both                    1250        ‐0.86      0.40      ‐1.41     ‐1.06      ‐0.81      ‐0.51      ‐0.43
               Absolute value of  t‐Statistic for Lagged Inequality
               GMM‐style                 625        2.49      0.35      2.05       2.23       2.45      2.74       2.99
               Collapsed                 625        2.85      0.48      2.30       2.52       2.77      3.07       3.63
               Both                    1250         2.67      0.46      2.13       2.35       2.62      2.92       3.25

               Panel B ‐‐ Differenced Equation
                                      N         mean        sd        p10       p25        p50        p75        p90
               Coefficient on Lagged Inequality
               GMM‐style                  25        0.48      0.21      0.28       0.31       0.43      0.59       0.83
               Collapsed                  25        2.88      2.48      1.41       1.90       2.12      3.15       3.78
               Both                       50        1.68      2.13      0.30       0.43       0.96      2.12       3.38
               Absolute value of  t‐Statistic for Lagged Inequality
               GMM‐style                  25        1.07      0.40      0.70       0.77       0.99      1.28       1.78
               Collapsed                  25        1.88      0.54      1.12       1.71       2.08      2.26       2.41
               Both                       50        1.48      0.62      0.70       0.91       1.40      2.08       2.32

                Panel C ‐‐ Levels Equation
                                        N         mean        sd       p10        p25        p50        p75        p90
                Coefficient on Lagged Inequality
                GMM‐style                   25      ‐0.53       0.15     ‐0.80     ‐0.66      ‐0.47      ‐0.41      ‐0.37
                Collapsed                   25      ‐1.29       0.52     ‐2.29     ‐1.21      ‐1.07      ‐0.96      ‐0.89
                Both                        50      ‐0.91       0.54     ‐1.74     ‐1.07      ‐0.84      ‐0.47      ‐0.40
                Absolute value of  t‐Statistic for Lagged Inequality
                GMM‐style                   25       2.77       0.65      1.96       2.49      2.71       2.96       3.94
                Collapsed                   25       2.29       0.37      1.79       1.99      2.24       2.53       2.87
                Both                        50       2.53       0.58      1.90       1.99      2.50       2.83       3.44  
    Note:  This table summarizes the distribution of point estimates of the growth effect of inequality from 2SLS estimates of the 
    levels equation, and the corresponding (absolute) t‐statistics.  These distributions are calculated over different instrument 
    sets consisting of different sets of lags of changes in income and inequality used as internal instruments, as described in the 
    text.  
 




                                                                  37